wortelvan twee | irrationaal getal
Videotekst
het kwadraat van een even getal is even
We gaan eerst eens goed kijken naar de kwadraten van de natuurlijke getallen.
Als je een aantal kwadraten op een rijtje zet en uitrekent, dan valt je op dat het er op lijkt dat het kwadraat van een even getal altijd even is en dat het kwadraat van een oneven getal altijd oneven is.
We gaan dit nu niet waterdicht bewijzen maar dat bewijs bestaat wel. Het is dus echt waar. Het kwadraat van een even getal is even en het kwadraat van een oneven getal is oneven.
Deze kennis hebben we pas nodig in deel 2, maar omdat je dit nu al goed kunt begrijpen zijn we hier toch mee begonnen.
is wortel 2 een breuk?
We willen nu graag weten of wortel 2 een breuk is en of we in dat geval kunnen uitrekenen hoe groot de teller is en hoe groot de noemer is.
Die vraag stelden de oude Grieken zich ook al want zij wisten dat de diagonaal van een vierkant van 1 bij 1 gelijk was aan wortel 2.
Maar hoe lang was dat precies?
bewijs uit het ongerijmde
De Grieken gebruikten al vaak een speciale methode om iets te bewijzen, namelijk een bewijs uit het ongerijmde.
Zo’n bewijs gaat er van uit dat een stelling alleen waar of onwaar kan zijn, dit heet de wet van de uitgesloten derde.
De werkwijze is als volgt: men neemt aan dat de stelling waar is, en laat zien dat die aanname tot een tegenspraak of een onware bewering leidt.
wortel 2 is breuk => iets absurds
Het volgende bewijs werkt samengevat als volgt.
We schrijven wortel 2 als een breuk die je niet meer kunt vereenvoudigen.
De teller en de noemer zijn dus niet allebei even.
Als we hier logisch mee aan de slag gaan, komen we tot de conclusie dat de teller en de noemer wel allebei even zijn.
Kortom, dit is absurd. De teller en de noemer waren niet allebei even, daar hadden we voor gezorgd omdat de breuk niet meer te vereenvoudigen was.
wortel 2 is breuk waarbij teller en noemer niet allebei even => teller en noemer zijn allebei even
Het echte bewijs is nu nog te moeilijk omdat we daarvoor moeten gaan rekenen met letters in plaats van met getallen.
Daarom kun je in het hoofdstuk “rekenen met letters” het echte bewijs vinden. Dat bewijs gaat door op de plaats waar we hier stoppen. Alle zwarte puntjes worden dan ingevuld met logische stapjes die volgen uit elke vorig stapje. Je leidt daar regel voor regel af waarom de wortel van twee echt geen breuk is. Zie voor het echte bewijs daarom: REKENEN MET LETTERS, de wortel van twee is geen breuk, deel 2
We maken nu al wel een heel klein beginnetje om je alvast te wennen aan het vreemde van het rekenen met letters in plaats van met getallen.
We doen nu net of wortel 2 inderdaad een breuk is.
We gaan de teller van die breuk t in plaats van 2 of 3 of welk natuurlijk getal dan ook.
Dit doen we omdat we nog niet weten hoe groot die teller is.
De noemer van die breuk noemen we om dezelfde reden n.
We schrijven wortel 2 nu dus als t/n.
wortel 2 = t/n
t en n zijn natuurlijke getallen en ze zijn niet allebei even.
Met deze formule kun je gaan rekenen. Je doet dan alsof t en n gewone getallen zijn en je gaat er dus ook mee rekenen alsof er bijvoorbeeld 5 en 6 staat in plaats van t en n.
Als je denkt dat je het echte bewijs toch nu al interessant vindt, houdt niets je tegen om nu alvast te kijken naar het bewijs. Je leert er veel van, mits je je niet laat ontmoedigen doordat je veel stapjes nog niet helemaal snapt. Er zijn ook veel stapjes die je al wel kunt begrijpen.
Je kunt dan, zoals gezegd, kijken op: REKENEN MET LETTERS, de wortel van twee is geen breuk, deel 2