meetkunde 8 | de drie hoeken van een driehoek

Videotekst

hulplijn trekken

Je ziet hier een zwarte driehoek getekend met drie verschillende hoeken, een rode, een blauwe en een gele hoek.
We willen nu kijken of we iets meer te weten kunnen komen over de grootte van die drie hoeken.
Daarom gaan we een hulplijn trekken.
Ik trek een lijn evenwijdig aan deze en ik verschuif die lijn naar dit hoekpunt.
Om aan te geven dat die twee lijnen echt evenwijdig zijn, teken ik er twee pijltjes in; deze loopt evenwijdig met deze.

twee evenwijdige lijnen gesneden door een derde lijn

Ik heb nu twee evenwijdige lijnen gesneden door een derde lijn, want ik ga nu naar deze lijn kijken.
Om alles duidelijker te zien, ga ik even een deel van de figuur bedekken, want ik wil alleen maar deze lijn en die twee evenwijdige lijnen zien.
Ik kijk nu dus naar deze twee evenwijdige lijnen die gesneden worden door een derde lijn.
Dan weet je, dan zijn overeenkomstige hoeken gelijk.
We zijn nu vooral geïnteresseerd in die gele hoek, omdat dat een van de hoeken van de driehoek is, dus ik zoek naar een overeenkomstige hoek van die gele hoek.
Dan ga ik hier naar toe, en dat is deze hoek, dus die ga ik ook geel maken.
Je weet ook al dat overstaande hoeken gelijk zijn en deze hoek heeft een overstaande hoek, dus deze hoek moet ook geel worden.

dezelfde twee evenwijdige lijnen gesneden door een andere derde lijn

Nu gaan we een ander deel van de figuur bedekken.
Want we willen nu gaan kijken, weer, naar deze twee evenwijdige lijnen, maar nu gesneden door deze lijn.
Dus we kijken weer naar deze twee evenwijdige lijnen die gesneden worden door deze lijn.
Nu zijn we met name geïnteresseerd in die rode hoek want dat is ook een hoek van die driehoek.
We gaan een overeenkomstige hoek zoeken, en dat is deze.
Die kunnen we rood maken.

de drie hoeken van een driehoek vullen een halve cirkel

En nu zien we iets heel bijzonders.
Ik zal eerst even al die bedekkingen weg halen.
Ik heb de driehoek maar weer zwart gemaakt, en nu ga ik kijken naar dit stukje.
Als ik nu eens deze gele even weer grijs maak, dan zie ik dat ik hier een blauwe hoek heb, een gele hoek en een rode hoek.
Dus dat zijn precies die drie hoeken van de driehoek, een blauwe, een gele en een rode, blauwe, gele, rode, en hier zie ik, dat ze samen een halve cirkel vullen.
Dus dat ze samen 180 graden zijn.

hoeken driehoek berekenen; de drie hoeken van een driehoek zijn samen 180 graden

We hebben nu laten zien dat de drie hoeken van een driehoek samen 180 graden zijn, ofwel samen een halve cirkel vullen.
En dat geldt voor elke driehoek omdat we hier zomaar een willekeurige driehoek getekend hadden.
Dus voor elke driehoek geldt dat de drie hoeken samen 180 graden zijn.

hoeken driehoek berekenen; bereken de derde hoek

Hier heb je een driehoek ABC. Hoofdletters, want hoekpunten schrijf je met hoofdletters.
Hoek B is 90 graden, want dit tekentje, dat is hetzelfde als zo’n tekentje, dat betekent 90 graden.
Hoe C is 30 graden.
Hoe groot is nu hoek A?
Hoek A is 180 graden min die andere twee hoeken, min hoek B + hoek C.
En dat is, 180 graden min, en dan vul ik voor hoek B 90 graden in, en voor hoek C vul ik 30 graden in.
Dus het is gelijk aan 180 graden min 90+30=120 min 120 graden, en dat is dus 60 graden.
Dus je ziet, hoek A moet 60 graden zijn, ik zal het er in schrijven nu, met rood, 60 graden, want 60+30=90 plus nog eens 90 is 180 en dat klopt.
Ze zijn samen 180 graden.