Priemgetallen

Videotekst

hele getallen schrijven als product

Je ziet hier de hele getallen 1 t/m 10.
We gaan bij al die getallen kijken of we ze als een product kunnen schrijven van kleinere hele getallen.
Het getal 1 tellen we niet mee want elk getal is 1 maal zichzelf.
Dus we beginnen met 2.
2 is alleen maar 1×2 maar dat zouden we niet meetellen
ook 3 is alleen maar 1×3
maar 4 is 2 x 2, dat schrijven we op
met 5 kan ik niets
6 = 2×3
7, kan ik niets mee
8 = 2×4 maar die 4 is ook weer 2×2
9 = 3×3
10 = 2×5

priemgetallen; atomen van de wiskunde

De getallen die je niet als product kon schrijven noemen we “priemgetallen”.
Als je het woordje “primus” opzoekt in een Latijns woordenboek, dan zie je: voorst, eerst, aanzienlijkst, voortreffelijkst.
Een priemgetal is een soort atoom-getal.
Een priemgetal kun je niet schrijven als een product van natuurlijke getallen, behalve dan als 1 x zichzelf.
Een niet-priemgetal kun je schrijven als een product van priemgetallen.
Daarom zijn priemgetallen een soort atomen. Ze zijn zelf ondeelbaar, net als bijvoorbeeld een ijzeratoom. Als je een ijzeratoom “doorsnijdt” is het geen ijzer meer. In die zin is een ijzeratoom ondeelbaar.
In de natuur komen maar 94 verschillende atomen voor.
Alle andere stoffen zijn een samenstelling of product van die 94 verschillende atomen.
Zo zijn ook alle niet-priemgetallen een product van de priemgetallen.

priemgetallen zijn belangrijk

Priemgetallen zijn belangrijk omdat ze de atomen van de wiskunde vormen.
Er wordt veel onderzoek naar gedaan.
Priemgetallen spelen tegenwoordig ook een belangrijke rol bij het beveiligen van digitale informatie.

er bestaan oneindig veel priemgetallen

Al in ongeveer 300 v. Chr. bewees de Griek Euclides dat er oneindig veel priemgetallen bestaan.
In zijn bewijs ging hij er van uit dat er juist wel een grootste priemgetal bestaat. Van daar ging hij redeneren en kwam toen uit op iets dat niet waar kon zijn. Blijkbaar was dan zijn uitgangspunt niet goed. Blijkbaar bestaan er niet een grootste priemgetal.
Als je het interessant vindt, kun je bijvoorbeeld op wikipedia het bewijs vinden van de stelling dat er oneindig veel priemgetallen moeten bestaan.

de zeef van Eratosthenes

Het is wel leuk om nu te laten hoe de Griek Eratosthenes ongeveer 200 jaar voor Christus een methode bedacht om op eenvoudige wijze alle priemgetallen te vinden kleiner dan bijvoorbeeld 1000.
Je zet eerst alle getallen op een rijtje. We doen even voor met 1 t/m 30 in plaats van 1 t/m 1000.
Je omcirkelt het eerste priemgetal 2 en vervolgens streep je alle veelvouden van twee door.
Dat doe ook bij de 3.
Daarna bij de 5.
Dan bij 7.
En dan bij 11 en je ziet dat je al klaar bent.
We hebben alle priemgetallen gevonden die kleiner zijn dan 30.
Op wikipedia kun je een animatie zien van de zeef van Eratosthenes.

de hoofdstelling van de rekenkunde

Tot slot noemen we nog het feit dat je elk heel getal groter dan 1 maar op één manier kunt schrijven als het product van priemgetallen.
Dit heet “de hoofdstelling van de rekenkunde”.