algebra 2-6 | de wortel van twee is geen breuk, deel 2

Videotekst

het kwadraat van een even getal is even

We gaan eerst eens goed kijken naar de kwadraten van de natuurlijke getallen.
Als je een aantal kwadraten op een rijtje zet en uitrekent, dan valt je op dat het er op lijkt dat het kwadraat van een even getal altijd even is en dat het kwadraat van een oneven getal altijd oneven is.
We gaan dit nu niet waterdicht bewijzen maar dat bewijs bestaat wel. Het is dus echt waar. Het kwadraat van een even getal is even en het kwadraat van een oneven getal is oneven.

is wortel 2 een breuk?

We willen nu graag weten of wortel 2 een breuk is en of we in dat geval kunnen uitrekenen hoe groot de teller is en hoe groot de noemer is.
Die vraag stelden de oude Grieken zich ook al want zij wisten dat de diagonaal van een vierkant van 1 bij 1 gelijk was aan wortel 2.
Maar hoe lang was dat precies?

bewijs uit het ongerijmde

De Grieken gebruikten al vaak een speciale methode om iets te bewijzen, namelijk een bewijs uit het ongerijmde.
Zo’n bewijs gaat er van uit dat een stelling alleen waar of onwaar kan zijn, dit heet de wet van de uitgesloten derde.
De werkwijze is als volgt: men neemt aan dat de stelling waar is, en laat zien dat die aanname tot een tegenspraak of een onware bewering leidt.

wortel 2 is breuk => iets absurds

Het volgende bewijs werkt samengevat als volgt.
We schrijven wortel 2 als een breuk die je niet meer kunt vereenvoudigen.
De teller en de noemer zijn dus niet allebei even.
Als we hier logisch mee aan de slag gaan, komen we tot de conclusie dat de teller en de noemer wel allebei even zijn.
Kortom, dit is absurd. De teller en de noemer waren niet allebei even, daar hadden we voor gezorgd omdat de breuk niet meer te vereenvoudigen was.

wortel 2 is breuk waarbij teller en noemer niet allebei even => teller en noemer zijn allebei even

Het echte bewijs is een beetje moeilijk omdat we voor het eerst gaan rekenen met letters in plaats van met getallen.
Als je het straks niet helemaal kunt volgen, is dat helemaal niet erg.
Je kunt het bewijs altijd opnieuw bekijken als je wat meer ervaring hebt met het rekenen met letters.

We doen nu net of wortel 2 inderdaad een breuk is.
We gaan de teller van die breuk n in plaats van 2 of 3 of welk natuurlijk getal dan ook.
Dit doen we omdat we nog niet weten hoe groot die teller is.
De noemer van die breuk noemen we om dezelfde reden m.
We schrijven wortel 2 nu dus als n/m.
wortel 2 = n/m
n en m zijn natuurlijke getallen en ze zijn niet allebei even.

Nu gaan we links en rechts het kwadraat nemen.
Dit is ook een methode uit de algebra, maar je kunt het nu al wel een beetje begrijpen want als er staat dat 3=3, dan is het ook waar dat 9=9, enz.
Ik mag daarom ook links van het is-teken een haakje om alles heen zetten en daarboven een tweede macht zetten, als ik rechts maar hetzelfde doen.
Alles blijft dan waar.
Ik krijg dan dus (wortel 2)² = (n/m)²
Ik heb dus wortel 2 x wortel 2 = n/m x n/m
Wortel 2 x wortel 2 = 2
n/m x n/m = (n x n)/(m x m)
2 = n²/m²

kruiselings vermenigvuldigen

Nu mag je kruiselings vermenigvuldigen.
Als je niet weet wat dit is, moet je echt meer leren over breuken.
Het komt er hier op neer dat je krijgt:
n² = 2 m²
Je ziet nu dat n² even is, dus dat n ook even is.
Ik ga voor n daarom 2p schrijven want dan zie ik meteen dat er een factor twee in n zit, dus ik zeg: n=2p
Ik vervang nu de formule n² = 2 m ² door (2p)² = 2 m²
Wegwerken van het haakje geeft: 4p² = 2 m²
Links en rechts delen door twee geeft: 2p² = m²
Als je deze laatste formule in gedachten omdraait, dus: m² = 2p² , dan zie je dat m² even is en dat dus ook m even is.

nu zijn we gestuit we op een absurditeit of ongerijmdheid

En nu zijn we er.
We zien nu dat we er van uit mochten gaan dat n en m niet allebei even zijn, maar uit alle rekenstapjes volgt nu dat zowel n even en m ook!
Kortom, ons uitgangspunt moet wel fout zijn.
We kunnen wortel 2 blijkbaar niet schrijven als een breuk, dus als een deelsom van twee natuurlijke getallen!